Affirmation à confirmer ou non

On considère les deux suites suivantes :

• la suite \(\left(u_n\right)\)  définie pour tout entier \(n\)  par :  \(u_n = \dfrac{8n-4}{n+1}\)  ;
• la suite \(\left(v_n\right)\)  définie par \(v_0 = 0\)  et \(v_{n+1} = 0,5v_n +3,5\)  pour tout entier \(n\) .

1. Calculer les termes d'indice \(3\)  des suites \(\left(u_n\right)\)  et \(\left(v_n\right)\) .

2. On s'intéresse aux variations de la suite \(\left(u_n\right)\) .

Pour cela, on considère la fonction \(f\)  définie sur \([0;+ \infty[\)  par  \(f(x) = \dfrac{8x- 4}{x + 1}\)

    a. Démontrer que la fonction \(f\)  est croissante sur \([0;+ \infty[\) .

     b. En déduire la monotonie de la suite \(\left(u_n\right)\) .

3. On considère l'affirmation suivante : pour tout entier \(n\) ,  \(u_n < v_n\) .

Camille pense que cette affirmation est vraie alors que Dominique pense le contraire. Pour les départager, on réalise le programme suivant écrit en langage Python :

\(\begin{array}{|}\hline\texttt{def algo() :}\\\texttt{n = 0 }\\\texttt{u = -4}\\\texttt{v = 0}\\\texttt{while u < v:}\\\quad\texttt{n = n+1} \\\quad\texttt{u = (8*n - 4)/(n + 1)} \\\quad\texttt{v = 0,5*v + 3,5}\\\texttt{return(n)}\\\hline\end{array}\)

Le programme renvoie la valeur \(11\) . Qui de Camille ou Dominique a raison ? Expliquer.